HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT

Định nghĩa:

Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất trên K là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn) có dạng tổng quát như sau:

(I)

Trong đó a_ij K (gọi là các hệ số) và các b_i K (gọi là các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, các x_j là các ẩn cần tìm (trong K)

Ví dụ 1: Hệ phương trình:

(1)

là một hệ gồm 3 phương trình tuyến tính 3 ẩn trên R

Ta nói (c₁, ..., c_n) Kⁿ là n nghiệm của hệ (I) nếu khi ta thay x₁ = c₁, ..., x_n = c_n vào (I) thì tất cả các đẳng thức trong (I) đều thoả

Ví dụ 2: Hệ phương trình tuyến tính (1) có 1 nghiệm là (1, 2, 1)

Có 3 cách biểu diễn hệ phương trình tuyến tính (I):

Dạng ma trận:

Cho hệ phương trình tuyến tính (I) Đặt:

A = , X = , B =

Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn và B cột các hệ số tự do của hệ (I)

Ký hiệu ma trận mở rộng:

= (A |B) =

Ma trận được gọi là ma trận mở rộng của hệ (I) khi viết = (A|B) gọi là sự ma trận hóa hệ (I)

Ví dụ 3:

Dạng vector:

Đặt: : (j = 1,n) ma trận hệ số của ẩn số, B = .

Khi đó phương trình (I) có thể viết dưới dạng véctơ:

Dạng ánh xạ tuyến tính:

Cho f: Kⁿ ® Kⁿ

Với:

Hệ phương trình Grammer:

Hệ phương trình tuyến tính (I) nếu có n phương trình và n ẩn số thì hệ phương trình (I) được gọi là hệ phương trình Gramer, chỉ có duy nhất một nghiệm.

x_j = (D ¹ 0)

với D là định thức của ma trận hệ số của ẩn số.

D_j là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j bằng các hệ số tự do b_j (j = 1,n).

Điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm:

Định lý (Kronecker Capeli) - Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là “Hạng của ma trận hệ số phải bằng hạng của ma trận bổ sung”: rankA = rankM.

Ví dụ 4: i) Cho hệ phương trình: (a)

Hỏi hệ (a) có nghiệm hay không? Tại sao?

Ta có:

A = và B = M =

Xét detA = |A| = = -1 , rankA =3.

Và detA^/ = = 2, rankM =3.

Vậy rankA = 3 = rankM => Hệ phương trình (a) có nghiệm.

ii) Cho hệ phương trình: (b)

Cho biết hệ có nghiệm không? Tại sao?

Ta có:A = . Xét detA = |A| = = 0.

Xét = = 6 ¹ 0. => rankA = 2.

M =

Ta có rankM = 3, vì detA^/ = 2 ¹ 0, với:| M^/ |= = 2 ¹ 0.

Vậy rankA = 2 ¹ 3 = rankM => Hệ phương trình (b) vô nghiệm.

iii) Xác định tham số a để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:

Ta có ma trận hệ số: A = và ma trận bổ sung: M =

Ta có: detA = |A| = = a³-3a+2 = (a-2)²(a+2)

Nếu detA ¹ 0 Û a ¹ 1 và a ¹ -2.

Vì ma trận bổ sung M chứa A nên M chứa một định thức con cấp 3 chính là |A|. Do đó trong trường hợp này rankM = 3.

Vậy với a ¹ 1 và a ¹ -2 thì hệ có nghiệm.

* Xét trường hợp a = 1:

Ta suy ra A = Þ rankA = 1.

Và M = Þ rankM = 1.

Þ rankA = rankM = 1.

Vậy với a = 1 thì hệ cũng có nghiệm.

* Xét trường hợp a = -2:

Ta suy ra : A = Þ rankA = 2, vì $=-5¹0.

và M = Þ rankM = 3, vì tồn tại: = 9 ¹ 0.

Þ rankA = 2 < 3 = rankM.

Vậy với a = -2 thì hệ vô nghiệm.

Tóm lại: Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi a ¹ -2.

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính:

1.Phương pháp 1 - đưa về hệ Grammer:

Ta tính rankA và rankM:

+ Nếu rankA = rankM = n => hệ có nghiệm.

+ Nếu rankA = rankM = r < n => hệ có vô số nghiệm (phụ thuộc vào (n-r) ẩn tự do).

+ Nếu rankA ¹ rankM => hệ vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình tuyến tính: (I)

Ta có: A = => rankA = 2 vì tồn tại: |A₂| = = 7 ¹ 0.

Và M = => rankM = 2 vì tồn tại |M₂| = = 14 ¹ 0.

Do đó rankM = rankA = 2 < 3 nên hệ phương trình (I) tương đương với:

Û ; với z tự do thuộc R Û Û ; z Î R.

Chọn z = 1 = y Þ x = 2 – 1 = 1.

Vậy hệ (I) có vô số nghiệm với một bậc tự do hay hệ (I) có tập nghiệm là: X=(1,1,1)*t với t Î R.

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình tuyến tính (a) .

Ta có: Þ rankA = 3 vì |A| = = -1 ¹ 0.

M = Þ rankM = 3 vì $|M₃| = Þ |M₃|= 2 ¹ 0.

Do đó: rankM = rankA = 3. Cho nên hệ (a) có nghiệm duy nhất:

2.Phương pháp 2 - khử dần ẩn số của Gause:

Ta dùng phép biến đổi sơ cấp biến đổi trên ma trận bổ sung M để cố gắng đưa ma trận M về dạng bậc thang sao cho có ít nhất một phương trình của hệ có dạng ax = b để suy ra nghiệm, rồi thay nghiệm đó vào phương trình nào của hệ còn hai ẩn mà phương trình đó có chứa ẩn vừa mới tìm được để tìm ẩn mới thứ hai, tương tự cho ẩn thứ ba,... cho đến ẩn thứ n.

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình tuyến tính (I) .

Ta có M = [A|B] =

- Lấy dòng(1) nhân với (-2) rồi cộng vào dòng(2); dòng(1) nhân với (-3) rồi cộng vào dòng(-3):

® : lấy dòng(2) nhân với (-5) rồi cộng vào dòng (3):

® _=> =>

Nếu cần thiết ta thử lại, bằng cách thay (*) vào (I), ta thấy đẳng thức xảy ra nên nghiệm của hệ (I) là:

X = (2/3, 2/3, -1/3) hay X=1/3*(2, 2, -1).

Ví dụ 8: Giải hệ phương tuyến tính sau đây trên R .

Ta có M = [A|B] = đổi chổ dòng (1) và (2):

® ; lấy dòng(1) nhân (-2) rồi cộng vào dòng (2); dòng(1) nhân (-1) rồi cộng vào dòng(3); dòng(1) nhân (-3) rồi cộng vào dòng(4):

® ; lấy dòng(3) nhân với (-1) rồi cộng vào dòng(4):

® _=> rankA = 3 vì tồn tại |D| = = -2 ¹ 0.

Mặt khác, ta có: rankM = 4 vì tồn tại D’:

D’ = = (-1)¹⁺¹= = 4 ¹ 0.

=> rankA = 3 < 4 = rankM => hệ vô nghiệm.

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình tuyến tính sau trên R:

Ta có M = [A|B] =

Lấy dòng(1) nhân với (-2) rồi cộng vào dòng(2); lấy dòng(1) nhân với (-3) rồi cộng vào dòng(3); lấy dòng(1) nhân với (-4) rồi cộng vào dòng(4):

® .

Lấy dòng(3) nhân với (-1) rồi cộng vào dòng(4):

® .

Lấy dòng(2) nhân với (-1) rồi cộng vào dòng(34):

® (1)

Ta có rankA = 3 vì tồn tại: |D| = = -5 ¹ 0. Và rankM = 3 vì tồn tại:

|D’| = = 15 ¹ 0.

Do đó rankA = 3 = rankM Þ hệ có nghiệm

Từ (1) suy ra:

Û (2) với t,u Î R.

Khi đó (2) là hệ Gramer với ẩn là x,y,z. Từ hệ (2) ta có:

A’ = vuông và detA = = 5 ¹ 0.

Do đó t, u là các ẩn tự do trên R, nên hệ phương trình (2) này có vô số nghiệm với hai bậc tự do là t và u.

Nghiệm hệ phương trình này là:

3.Phương pháp 3 - dùng ma trận nghịch đảo:

Dùng cho những hệ phương trình có ma trận hệ số vuông không suy biến.

Ta có AX = B => X = A^-1B.

* Phương pháp:

+ Bước 1: Xét hai điều kiện A vuông và delA ¹ 0 để suy ra tồn tại A^-1.

+ Bước 2: Thực hiện tìm ma trận nghịch đảo A^-1 theo phương pháp đã học.

+ Bước 3: Thực hiện nhân ma trận A^-1_xB.

+ Bước 4: Trả lời tập nghiệm của hệ.

Lưu ý: A: ma trận hệ số của ẩn số.

B: ma trận của hệ số tự do.

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:

Ta có: A = vuông và detA = = -5 ¹ 0.

Do đó tồn tại A^-1: A^-1 = Vậy: X =

hay là nghiệm của hệ.

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:

Ta có: A = vuông và detA = = 1 ¹ 0.

Do đó tồn tại A^-1: [A | I₃] =

Lấy dòng(1) nhân với (-1) rồi lần lượt cộng vào dòng(2) và dòng(3):

® Lấy dòng(2) nhân với (-3) rồi cộng vào dòng(1):

® Lấy dòng(3) nhân với (-3) rồi cộng vào dòng(1):

® . Vậy: A^-1 = nên:

X = =

* Tương tự giải cho những hệ phương trình bậc 4, bậc 5,... bậc n

4.Phương pháp 4 - phương pháp Grammer:

Áp dụng cho những hệ phương trình có ma trận hệ số của ẩn số vuông không suy biến.

Phương pháp:

+ Bước 1: Xét điều kiện tồn tại A vuông và detA ¹ 0.

+ Bước 2: Tính các định thức D_j được thành lập từ D= detA bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do b_j, (j=1,n).

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:, trong đó (a,b,c) Î R\{0}.

Ta có:A = là ma trận vuông và:

detA = = 2abc ¹ 0 vì (a,b,c) Î R\{0}.

Ta lại có:

D_x = = b(c²+a²-b²) ¹ 0;

D_y = = a(b²+c²-a²) ¹ 0.

D_z = = c(a²+b²-c²) ¹ 0.

Vậy nghiệm của hệ là:

x = = ;y = = ; z = =

* Nhận xét:

Khi hệ phương trình đã cho có ma trận hệ số của ẩn số là vuông và không suy biến, ta áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp Gramer, rất tiện lợi cho những hệ phương trình ít ẩn số, nhưng rất phức tạp cho những hệ phương trình có nhiều ẩn số (tức ma trận ẩn số A có cấp cao), vì phương pháp tìm ma trận nghịch đảo và phương pháp tính định thức quá phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ nhằm lẫn trong tính toán.

Do đó ta nên dùng phương pháp tổng quát nhất là “khử dần ẩn số Gause”, để đưa ma trận hệ số của ẩn số về dạng tam giác hoặc ma trận bậc thang chính tắc để suy ra nghiệm của hệ.

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình tuyến tính:

Ta có:

M = [A|B] =

Lấy dòng(1) nhân với (-2) rồi cộng lần lượt vào dòng(2) và dòng(5); lấy dòng(1) nhân với (-1) rồi cộng vào dòng(3); lấy dòng(1) nhân với (-3) rồi cộng vào dòng(4):