ÔN TẬP ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM THPT

 

Bảng đạo hàm của hàm số biến x

Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit cơ bản biến x.

Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

(xα)’ = α.xα-1

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x

(tan x)’ =  1cos2x  = 1 + tan2 x

(cot x)’ =  −1sin2x  = -(1 + cot2 x)

(logα x)’ =  1x.lnα

(ln x)’ =  1x

(αx)’ = αx . lnα

(ex)’ = ex

Xem thêm: Công thức diện tích hình tròn

Bảng đạo hàm của hàm số biến u = f(x)

Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit của một hàm số đa thức u = f(x).

Bảng đạo hàm các hàm số nâng cao

(uα)’ = α.u’.uα-1

(sin u)’ = u’.cos u

(cos u)’ = – u’.sin u

(tan u)’ =  u′cos2u  = u'(1 + tan2 u)

(cot u)’ =  −usin2u  = -u'(1 + cot2 x)

(logα u)’ =  uu.lnα

(ln u)’ =  u′u

(αu)’ = u’.αu.lnα

(eu)’ = u’.eu

Các công thức đạo hàm cơ bản

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số 

y=xn(n∈N,n>1)

 có đạo hàm với mọi 

x∈R

 và: 

(xn)′=nxn–1

.

Nhận xét:

(C)’= 0 (với C là hằng số).

(x)’=1.

Định lý 2: Hàm số 

y=x−−√

 có đạo hàm với mọi x dương và: 

(x−−√)′=12x−−√

.

2. Đạo hàm của phép toán tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lý 3: Giả sử 

u=u(x)vàv=v(x)

 là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

(u+v)′=u′+v′

;

(u–v)′=u′–v′

;

(u.v)′=u′.v+u.v′

;

(uv)′=u′v−uv′v2,(v(x)≠0)

Mở rộng:

(u1+u2+…+un)′=u1′+u2′+…+un′

.

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: (ku)’ = ku’.

Hệ quả 2: 

(1v)′=–v′v2,(v(x)≠0)

(u.v.w)′=u′.v.w+u.v′.w+u.v.w′

3. Đạo hàm của hàm hợp

Định lý: Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có: 

y′u=y′u.u′x

.

Hệ quả:

(un)=n.un–1.u′,n∈N∗

.

(u−−√)′=u′2u−−√

.

Công thức đạo hàm lượng giác

Ngoài những công thức đạo hàm lượng giác nêu trên, ta có một số công thức bổ sung dưới đây:

[arcsin(x)]’ = 

11–x2−−−−√

[arccos(x)]’ = 

−11–x2−−−−√

[arctan(x)]’ = 

1x2+1

Công thức đạo hàm cấp 2

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x ∈ (a; b).

Khi đó y’ = f'(x) xác định một hàm sô trên (a;b).

Nếu hàm số y’ = f'(x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x.

Kí hiệu: y” hoặc f”(x).

Ý nghĩa cơ học: 

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động S = f(t) tại thời điểm t.

Công thức đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 kí hiệu f (n-1) (x) (n ∈ N, n ≥ 4).

Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của y = f(x), y (n) hoặc f (n) (x).

f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’

Công thức đạo hàm cấp cao:

(x m)(n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n  (nếu m ≥ n)

(x m)(n) = 0 (nếu m ≤ n)

Xem tiếp các công thức đạo hàm còn lại một cách đầy đủ nhất ở bảng đạo hàm bên dưới:

Bảng đạo hàm tổng hợp đầy đủ nhất

Xem thêm bảng công thức đạo hàm cơ bản và nâng cao

Bảng công thức đạo hàm cơ bản và nâng cao

Sưu tầm.