ĐỊNH THỨC MATRIX

Định nghĩa:

Định thức trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Định thức được sử dụng để giải và biện luận các hệ phương trình đại số tuyến tính. Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông, nếu định thức của một ma trận bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn module.

Cho ma trận vuông cấp n:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}}$

Công thức tính định thức Leibniz:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

Định thức của một ma trận vuông còn được viết như sau:

${\displaystyle detA={\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}$

Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}}$

Do độ phức tạp, nên ta cũng chỉ tính toán trên giấy cho định thức của ma trận vuông A có chiều là 3x3, với số chiều lớn hơn, phải dùng máy tính để thực hiện.

Tính chất:

Với mọi ma trận khả tích n x n: det(AB) = det(A).det(B) = det(B).det(A)

Ma trận vuông A và A chuyển vị có định thức bằng nhau: det(A) = det(A^T)

Vận dụng:

Giải hệ phương trình tuyến tính: thuần nhất và không thuần nhất.